Родился 23.03.1912 г. в ауле Большой Кичмай Лазаревского района г. Сочи Краснодарского края в семье крестьянина. Черкес. Член КПСС. Окончил Краснодарский педагогический институт, работал директором средней школы в Туапсинском районе.
В Красную Армию был зачислен добровольцем Шапсугским райвоенкоматом, в феврале 1942 г. направлен на фронт.
Заряжающий орудия 2-го гвардейского отдельного конно-артилерийского дивизиона (4-й гвардейский кавалерийский корпус, Закавказский фронт), гвардии рядовой Ачмизов отличился в боях в районе аула Новкус-Артезиан (Нефтекумский район, Ставропольский край) 2 декабря 1942 г. при отражении танковой атаки заменил вышедшего из строя наводчика и вместе с раненым командиром расчёта вступил в поединок с 11-ю вражескими танками, уничтожил 2 тяжёлых и 3 средних танка. В этом бою погиб.
Звание Героя Советского Союза Ачмизову Айдамиру Ахмедовичу присвоено 31 марта 1943 года (посмертно).
Награждён орденом Ленина, орденом Отечественной войны II ст., медалью.
Похоронен в ауле Новкус-Артезиан Нефтекумского района, где установлен бюст Героя.