Родился 27.10.1912 г. в с. Христиановском (ныне в г. Дигоре Республики Северная Осетия – Алания), в крестьянской семье. Осетин. Член ВКП(б) с 1945 г. Образование неоконченное среднее. Работал в Ашхабаде экспедитором объединения «Союзсера».
В августе 1942 г. был призван в ряды Красной Армии Кожевинским РВК Коми АССР. В боях Великой Отечественной войны с 1942 г. Командир самоходно-артиллерийской установки 1454-го самоходно-артиллерийского полка (11-й гвардейский танковый корпус, 1-я гвардейская танковая армия, 1-й Белорусский фронт). Старший сержант Кибизов 16-17 апреля 1945 г. в боях в районе г. Зеелов (Германия), действуя в передовом отряде полка, уничтожил 5 танков, 1 дот, 3 противотанковых орудия и до 60 солдат противника, а также подавил огонь 6 тяжёлых пулемётов.
22.04.1945 г. одним из первых ворвался в Берлин, в боях на р. Шпрее в районе населённого пункта Карлсхорст (пригород Берлина) огнём установки обеспечил переправу стрелковых подразделений через реку.
Из наградного листа:
«В исторических апрельских наступательных боях 1945 г. тов. Кибизов, действуя со своей СУ-100 в передовом отряде полка и бригады, показал исключительный героизм и бесстрашие по прорыву вражеской обороны на Берлинском направлении.
В тяжелых наступательных боях 16 и 17 апреля 1945 г. в район Фридерсдорф, Зеелов тов. Кибизов, встретившись с засадой немецких танков, смело и бесстрашно вступил с ними в бой. В результате проведенных ожесточенных 2 дневных боев СУ-100 тов. Кибизова уничтожила: танков Т-6 (Тигр) – 3, Т-5 (Пантера) – 2, противотанковых орудий – 3, ДОТ с 75 мм пушкой – 1, станковых пулеметов – 6 и до 60 солдат противника.
22 апреля в 5.30 утра первым ворвался в Берлин, завязал уличный бой и первым подошел к реке Шпрее, обеспечив огнем самоходной установки беспрепятственную переправу нашим пехотным подразделениям. В этих боях тов. Кибизов был тяжело ранен. За весь период исторических наступательных боев 1945 г. от Магнушевского плацдарма на Висле до Одера, участвуя в рассеянии Померанской группировки и жестоких боях за г. Гдыня тов. Кибизов прошел весь этот тяжелый боевой путь более 2000 км на одной боевой машине, не имея ни одного случая поломок и отставаний, уничтожив при этом большое количество техники и живой силы противника.
За проявленный героизм при штурме Берлина, за бесстрашные действия со своей СУ-100 в передовом отряде достоин присвоения звания Героя Советского Союза».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 мая 1945 г. за мужество и героизм, проявленные в наступательных боях от Вислы до Одера, нанесение противнику большого урона в живой силе старшему сержанту Кибизову Александру Николаевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 6717).
После войны был демобилизован. Проживал в г. Кисловодске, работал завхозом санатория.
Награждён также орденом Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I ст., орденом Отечественной войны II ст., орденом Красной Звезды и 17 медалями.
В 1985 г. переехал с семьей во Владикавказ (Республика Северная Осетия–Алания), где умер 29 марта 2001 г. Похоронен на Аллее Славы во Владикавказе.
В г. Дигора один из переулков назван в честь А.Н. Кибизова, а средняя школа №1 г. Дигоры носит имена двух своих выпускников – Героев Советского Союза Сергея Бицаева и Александра Кибизова. В апреле 2015 г. имя Александра Кибизова присвоено МБОУ гимназии №4 г. Владикавказа.