Родился 15.07.1907 г. в селе Константиновском ныне Петровского района Ставропольского края в семье крестьянина. Русский. Член ВКП(б) с 1931 г. Окончил 7 классов. Работал в сельском хозяйстве. В Красной Армии с 1929 г. В 1932 году окончил Закавказскую военную пехотную школу, в 1941 году – курсы «Выстрел». В боях Великой Отечественной войны участвовал с июня 1941 года.
Командир 95-го гвардейского стрелкового полка (31-я гвардейская стрелковая дивизия, 11-я гвардейская армия, 3-й Белорусский фронт) гвардии подполковник П.А. Лещенко 13 июля 1944 года умело организовал форсирование реки Неман под городом Алитус на территории Литвы. Его полк первым захватил и удержал плацдарм на левом берегу реки. За головным батальоном Лещенко переправился на плацдарм и возглавил бои по отражению вражеских контратак и бои за расширение плацдарма.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за мужество и героизм, проявленные при форсировании Немана и удержании плацдарма на его западном берегу, гвардии подполковнику Павлу Афанасьевичу Лещенко присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4200).
После войны окончил курсы усовершенствования офицерского состава (КУОС). С 1954 года полковник П.А. Лещенко находился в запасе. Жил и работал в городе Свердловске (ныне Екатеринбург). Был старшим преподавателем военной кафедры Уральского лесотехнического института.
Умер 21 ноября 1984 года. Похоронен в Екатеринбурге на Широкореченском кладбище.
Награждён двумя орденами Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденами Суворова III степени, Отечественной войны I ст., двумя орденами Красной Звезды, медалями.
В 2016 г. по инициативе Регионального отделения Российского военно-исторического общества в Ставропольском крае на здании МКОУ СОШ № 11 с. Константиновского Петровского района Ставропольского края была установлена мемориальная доска Герою Советского Союза П.А. Лещенко.