Родился 23.03.1908 г. в станице Белоглинской Медвежинского уезда Ставропольской губернии (ныне с. Белая Глина Краснодарского края) в семье сельского учителя. Русский. Член ВКП(б) с 1934 г.
В Красной Армии с 1926-1933 и с 1935 г. В 1928 году окончил Севастопольскую школу морских лётчиков. Служил в строевой части ВВС Краснознамённого Балтийского флота, затем – лётчиком-инструктором в Ейской школе морских лётчиков.
С 1933 по 1935 гг. находился в запасе. Работал в Гражданском воздушном флоте, в Чукотском отряде Управления полярной авиации Главсевморпути. Освоил одну из самых трудных воздушних линий – сахалинскую. Затем перевелся на Крайний Север.
В 1934 году после гибели ледокола «Челюскин» Ляпидевский участвовал в розыске и спасении челюскинцев. Экипажу АНТ-4, который возглавлял командир самолета А. Ляпидевский, удалось в сложнейших метеоусловиях, совершив предварительно 29 поисковых полётов, найти дрейфующую льдину, посадить тяжёлый самолет на импровизированный аэродром и вывезти оттуда 12 человек (10 женщин и 2 ребёнка).
За проявленные мужество и самоотверженность 20 апреля 1934 года Ляпидевскому Анатолию Васильевичу было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина (№ 515). 4 ноября 1939 года , при вручении медалей «Золотая Звезда». Он стал первым кавалером «Золотой Звезды» (№ 1).
Был заместителем начальника Главной инспекции и директором авиационного завода.
В 1939 году окончил Военно-Воздушную академию им. Н.Е Жуковского. Служил в ВВС Балтийского флота, был пилотом Дальневосточного управления ГВФ. В 1942-1943 годах участвовал в Великой Отечественной войне на Карельском фронте в должности заместителя командующего ВВС 19-й армии. С сентября 1943 г. – вновь директор авиационного завода.
В 1946 году А.В. Ляпидевскому было присвоено звание генерал-майора, он был назначен главным контролёром Министерства госконтроля СССР, затем заместителем министра авиационной промышленности.
Занимал один из руководящих постов в сверхсекретном КБ-25 (ныне Всероссийский НИИ автоматики), где в тесном сотрудничестве с группой физиков-ядерщиков (И.Е. Тамм, А.Д. Сахаров) разрабатывались блоки автоматики для водородных бомб. В 1954-1961 годах А.В. Ляпидевский работал в должности директора опытного завода КБ-25. В 1961 году во время испытаний самой мощной в мире 50-мегатонной водородной бомбы над Новой Землёй все участники правительственной комиссии получили жёсткую дозу облучения. По этой причине в том же 1961 году Ляпидевский по состоянию здоровья вышел в отставку.
Умер 29.04.1983 года. Похоронен в Москве.
Награждён двумя 3-мя орденами Ленина, орденами Октябрьской Революции, Красного Знамени, Отечественной войны I и II ст., Трудового Красного Знамени, двумя орденами Красной Звезды, орденом Знак Почёта, медалями.
В 1935 году выпущена почтовая марка СССР, посвященная подвигу Ляпидевского. Памятник А.В. Ляпидевскому в Белой Глине установлен в 1990 году в честь 170-летия села (находится в парке 30-летия ВЛКСМ). В с. Белая Глина МБОУ средней образовательной школе №12 присвоено имя первого Героя Советского Союза А.В. Ляпидевского. На здании средней школы №2 в г. Ейске, где учился А.В. Ляпидевский, установлена мемориальная доска, его имя присвоено школе. Именем А.В. Ляпидевского названы Омский лётно-технический колледж гражданской авиации, Чебоксарский авиационно-спортивный клуб ДОСААФ, МОУ СОШ №1 станицы Старощербиновской Краснодарского края. В школьном дворе МОУ СОШ №1 им. Ляпидевского станицы Старощербиновской установлен бюст легендарного лётчика. В г. Ставрополе одна из улиц названа именем Героя.