Родился 30.08.1919 г. в пос. Илларионовском, ныне город Минеральные Воды, Ставропольского края в семье рабочего. Русский. Член ВКП(б) с 1958 г. Окончил 9 классов и аэроклуб.
С 1938 г. служил в Военно-морском флоте. В 1940 году окончил Ейское военно-морское авиационное училище. Служил в авиации Балтийского флота.
Участник Великой Отечественной войны с 1941 года. Лётчик 1-го гвардейского минно-торпедного авиаполка (8-я минно-торпедная авиационая дивизия, ВВС Балтийского флота) гвардии старший лейтенант Разгонин к ноябрю 1943 года совершил 69 боевых вылетов, потопил 5 вражеских транспортов общим водоизмещением 29,5 тысячи тонн.
Звание Героя Советского Союза Разгонину Александру Ивановичу присвоено 22 января 1944 года, но медаль «Золотая Звезда» (№ 5090) и орден Ленина были вручены только в 1963 году.
Во время выполнения боевого задания 16 ноября 1943 года, после отказа мотора, самолёт Разгонина приземлился в тылу врага, экипаж попал в плен. Весной 1945 года Разгонин бежал из фашистского лагеря.
После войны продолжал службу в авиации ВМФ. С 1981 года подполковник Разгонин находился в отставке. Жил и работал в Ленинграде.
Умер в 2012 году. Похоронен в Санкт-Петербурге.
Награждён также тремя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I ст., медалями.
В 2016 г. по инициативе Регионального отделения Российского военно-исторического общества в Ставропольском крае на здании МБОУ гимназия №103 г. Минеральные Воды была установлена мемориальная доска Герою Советского Союза А.И. Разгонину.