Родился 10.10.1910 г. в хуторе Вольном ныне Невинномысского района Ставропольского края. Русский. Член ВКП(б) с 1931 г. Окончил среднюю школу.
С 1932 г. в Военно-Морском флоте. В 1940 г. окончил военно-политическое училище.
На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 г. Комиссар 1-го батальона 83-й стрелковой бригады 51-й армии Закавказского фронта майор Тесленко возглавлял десантный отряд, высадившийся 24 декабря 1941 г. в Керчи. Захватив две вражеские батареи, майор Тесленко в течение трёх дней управлял боем отряда с превосходящими силами противника. Был ранен, но остался в строю.
Звание Героя Советского Союза майору Тесленко Илье Алексеевичу было присвоено 17 апреля 1943 года с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 911).
В 1948 г. окончил КУОС. После войны продолжил службу в Военно-Морском флоте страны.
С 1955 г. капитан 1-го ранга И.А. Тесленко находился в запасе. Жил в городе Симферополе. Работал инженером на заводе «Фиолент».
Умер 10 ноября 1991 года.
Награждён также двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I ст., орденом Красной Звезды, медалями.