Родился 24.01.1914 г. в селе Янкуль ныне Андроповского района Ставропольского края в семье крестьянина. Русский. Окончил 7 классов школы. Работал шофёром в городе Сочи.
В 1936 г. призван в Красную Армию. Окончил школу младших командиров.
С июня 1941 г. на фронте. Командир взвода 1675-го артиллерийско-минометного полка (30-я кавалерийская дивизия, 1-й Белорусский фронт) кандидат в члены ВКП(б) старший лейтенант Чекменёв отличился при освобождении Брестской области Белоруссии. 6 июня 1944 г. в бою у деревни Будзевичи Барановичского района Брестской области Чекменёв, оставаясь у орудия с одним артиллеристом, лично вёл огонь, подбил 4 танка, уничтожил около 250 фашистов.
8 июля 1944 г. в составе головного отряда кавалерийского полка северо-западнее г. Барановичи Брестской области овладел вражеским опорным пунктом, в бою за деревню Тешевля Барановичского района Чекменёв погиб. Похоронен в братской могиле в дер. Тешевля.
Звание Героя Советского Союза старшему лейтенанту Григорию Анатольевичу Чекменёву присвоено 25 сентября 1944 года (посмертно).
Также был награждён орденами Ленина, Красной Звезды, медалью. В честь Чекменёва названы улицы в селе Курсавка и в городе Сочи.
В 2016 г. по инициативе Регионального отделения Российского военно-исторического общества в Ставропольском крае на здании МКОУ СОШ №7 с. Янкуль Андроповского муниципального района была установлена мемориальная доска Герою Советского Союза Г.А. Чекменёву.